Ja, det går bra att odla björnbär på balkongen. Men viktigt är att ta en taggfri sort så man själv kan njuta av sin balkong också 🙂.
Några taggfria sorter som passar din zon är tex Loch Tay http://vaxtia.se/index.php/atbart/bjornbar/rubus-fruticosus-loch-tay.html, 
Thornless Evergreen: https://www.blomsterlandet.se/Vaxter-och-tillbehor/Ute/Barhttp:/
eller Black Satin: http://www.dreamgardens.se/lovtrad-och-buskar/bjornbar-rubus-fruticosus-black-satin.html

Använd en stor kruka på 20 liter eller större och plantera gärna mot den soligaste väggen

Sen skulle jag också föreslå att isolera krukan införvintern med frigolit eller kvistar och löv.